公務(wù)員考試行測全面復(fù)習(xí)資料:數(shù)學(xué)運(yùn)算
1.數(shù)的拆分:
數(shù)的拆分問題是公務(wù)員考試??嫉念}型之一,考察對數(shù)的基本特性的掌握,通常此類問題都比較靈活。一般來說此類問題整體難度不大,不過像考試中常用的代入法等在此將不再實(shí)用,故掌握方法就變得特別重要。下面我們就和大家分享幾種常用的解決此類問題的方法。
1.分解因式型:就是把一個(gè)合數(shù)分解成若干個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。運(yùn)用此方法解題首先要熟練掌握如何分解質(zhì)因數(shù),還要靈活組合這些質(zhì)因數(shù)來達(dá)到解題的目的。
例題1:.三個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)之和為 ,則a=( )
A.68 B.83 C.95 D.131
解析:將231分解質(zhì)因數(shù)得231=3×7×11,則 + + = ,故a=131。
例題2. 四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的積為3024,它們的和為( )
A.26 B.52 C.30 D.28
解析:分解質(zhì)因數(shù):3024=2×2×2×2×3×3×3×7=6×7×8×9,所以四個(gè)連續(xù)的四個(gè)自然數(shù)的和為6+7+8+9=30。
2.已知某幾個(gè)數(shù)的和,求積的最大值型:
基本原理:a2+b2ㄒ2ab,(a,b都大于0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取得等號)
推 論:a+b=K(常數(shù)),且a,b都大于0,那么abㄑ((a+b)/2)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取得等號。此結(jié)論可以推廣到多個(gè)數(shù)的和為定值的情況。
例題1:3個(gè)自然數(shù)之和為14,它們的的乘積的最大值為( )
A.42 B.84 C.100 D.120
解析:若使乘積最大,應(yīng)把14拆分為5+5+4,則積的最大值為5×5×4=100。也就是說,當(dāng)不能滿足拆分的數(shù)相等的情況下,就要求拆分的數(shù)之間的差異應(yīng)該盡量的小,這樣它們的乘積才能最大,這是做此類問題的指導(dǎo)思想。下面再舉一列大家可以自己體會.
例題2:將17拆分成若干個(gè)自然數(shù)的和,這些自然數(shù)的乘積的最大值為( )
A.256 B.486 C.556 D.376
解析:將17拆分為17=3+3+3+3+3+2時(shí),其乘積最大,最大值為 ×2=486。
3. 排列組合型: 運(yùn)用排列組合知識解決數(shù)的分解問題。要求對排列組合有較深刻的理解,才能達(dá)到靈活運(yùn)用的目的
例題1.:有多少種方法可以把100表示為(有順序的)3個(gè)自然數(shù)之和?( )
A.4851 B.1000 C.256 D.10000
解析:插板法:100可以想象為100個(gè)1相加的形式,現(xiàn)在我們要把這100個(gè)1分成3份,那么就相等于在這100個(gè)1內(nèi)部形成的99個(gè)空中,任意插入兩個(gè)板,這樣就把它們分成了兩個(gè)部分。而從99個(gè)空任意選出兩個(gè)空的選法有:C992=99×98/2=4851(種);故選A。
(注:此題沒有考慮0已經(jīng)劃入自然數(shù)范疇,如果選項(xiàng)中出現(xiàn)把0考慮進(jìn)去的選項(xiàng),建議選擇考慮0的那個(gè)選項(xiàng)。)
例題2. 學(xué)校準(zhǔn)備了1152塊正方形彩板,用它們拼成一個(gè)長方形,有多少種不同的拼法?
A.1152 B.384 C.28 D.12
解析:本題實(shí)際上是想把1152分解成兩個(gè)數(shù)的積。
解法一:1152=1×1152=2×576=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×96=16×72=18×64=24×48=32×36,故有12種不同的拼法。
解法二:1152= ,用排列組合方法:我們現(xiàn)在就是要把這7個(gè)“2”和兩個(gè)“3”分成兩部分,每種分配方法對應(yīng)一種拼法。具體地:
1) 當(dāng)兩個(gè)“3”不挨著時(shí),有4種分配方法,即:(3,3× )、(3×2,3× )、( )
( )
2) 當(dāng)兩個(gè)“3”挨著時(shí),有8種分配方法;略。
故共有:8+4=12種,
這里我們只討論了數(shù)的拆分的幾種比較常見的類型及其解題思想,但此類問題決不僅僅局限于此,我們會在以后陸續(xù)補(bǔ)充完善。
2.平均數(shù)問題
這里的平均數(shù)是指算術(shù)平均數(shù),就是n個(gè)數(shù)的和被個(gè)數(shù)n除所得的商,這里的n大于或等于2。
通常把與兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)的算術(shù)平均數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題,叫做平均數(shù)問題。
平均數(shù)應(yīng)用題的基本數(shù)量關(guān)系是:
總數(shù)量和÷總份數(shù)=平均數(shù)
平均數(shù)×總份數(shù)=總數(shù)量和
總數(shù)量和÷平均數(shù)=總份數(shù)
解答平均數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵在于確定“總數(shù)量”以及和總數(shù)量對應(yīng)的總份數(shù)。
例1:在前面3場擊球游戲中,某人的得分分別為130、143、144。為使4場游戲得分的平均數(shù)為145,第四場他應(yīng)得多少分?( )
【答案】163分。解析:4場游戲得分平均數(shù)為145,則總分為145×4=580,故第四場應(yīng)的580-130-143-144=163分。
例2:李明家在山上,爺爺家在山下,李明從家出發(fā)一每分鐘90米的速度走了10分鐘到了爺爺家?;貋頃r(shí)走了15分鐘到家,則李明往返平均速度是多少?( )
A.72米/分 B.80米/分 C.84米/分 D90米/分
【答案】A。解析:李明往返的總路程是90×10×2=1800(米),總時(shí)間為10+15=25分鐘,則他的平均速度為1800÷25=72米/分。
3. 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)問題
公約數(shù)與公倍數(shù)的概念
公約數(shù):幾個(gè)自然數(shù)公有的約數(shù),叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個(gè)稱為這幾個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。
公倍數(shù):幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù),叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的一個(gè)大于零的公倍數(shù),叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。
最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)問題在日常生活中的應(yīng)用非常廣泛,故而成為公務(wù)員考試中比較常見的題型。這類問題一旦真正理解,計(jì)算起來相對簡單。下面通過例題來加深大家對最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)概念的理解。
例題1:
有兩個(gè)兩位數(shù),這兩個(gè)兩位數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和是91,最小公倍數(shù)是最大公約數(shù)的12倍,求這較大的數(shù)是多少?
A.42 B.38 C.36 D.28
【答案】D。解析:這道例題非常清晰的點(diǎn)明了主旨,就是最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)問題,那么我們可以根據(jù)定義來解決。這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是91÷(12+1)=7,最小公倍數(shù)是7×12=84,故兩數(shù)應(yīng)為21和28。
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例題2:
三根鐵絲,長度分別是120厘米、180厘米、300厘米,現(xiàn)在要把它們截成相等的小段,每段都不能有剩余,那么最少可截成多少段?
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】C。解析:這道例題中隱含了最大公約數(shù)的關(guān)系。“截成相等的小段”,即為求三數(shù)的公約數(shù),“最少可截成多少段”,即為求最大公約數(shù)。每小段的長度是120、180、300的約數(shù),也是120、180和300的公約數(shù)。120、180和300的最大公約數(shù)是60,所以每小段的長度最大是60厘米,一共可截成120÷60+180÷60+300÷60=10段。
4.數(shù)的整除特性
關(guān)于數(shù)的整除特性,中公教育的教材上講的已經(jīng)很詳細(xì)了,但是還是不斷有學(xué)員問相關(guān)的題型,看來大家還是不能夠完全把握此類規(guī)律。我在這里做個(gè)表格,方便大家的理解和記憶。
可以被整除的數(shù)字 特性
2 偶數(shù)
3 每位數(shù)字相加的和是3的倍數(shù)
4 末兩位是4的倍數(shù)
5 末位數(shù)字是0或者5
6 能同時(shí)被2和3整除
7 末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差(以大減?。┠鼙?整除
8 末三位是8的倍數(shù)
9 每位數(shù)字相加的和是9的倍數(shù)
10 末位數(shù)字是0
11 1,奇數(shù)位置上的數(shù)字和與偶數(shù)位置上的數(shù)字和之間的差(以大減小)是能被11整除
2,任何一個(gè)三位數(shù)連寫兩次組成的六位數(shù)
3,末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差(以大減?。┠鼙?1整除
12 能同時(shí)被3和4整除
13 末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差(以大減?。┠鼙?3整除
25 末兩位數(shù)是25的倍數(shù)
125 末三位是125的倍數(shù)
5. 空瓶問題
公務(wù)員考試中的數(shù)學(xué)運(yùn)算中經(jīng)常出現(xiàn)“空瓶換水的問題”有的考生由于抓不住此類問題的關(guān)鍵,解題時(shí)往往不夠準(zhǔn)確和迅速。在空瓶換水這類題目中往往都有這樣的字眼:幾個(gè)空瓶換一瓶飲料。這就是題目的關(guān)鍵所在,它告訴了我們多少空瓶可以換一個(gè)瓶子中的飲料。還有些題目將這個(gè)換為的未知的,解題的思路依然不變??磶讉€(gè)例題:
例1.如果4個(gè)礦泉水空瓶可以換一瓶礦泉水,現(xiàn)有15個(gè)礦泉水空瓶,不交錢最多可以喝礦泉水:
A.3瓶 B.4瓶 C.5瓶 D.6瓶
解:由題意:3個(gè)空瓶相當(dāng)于一個(gè)瓶子中的礦泉水,顯然選C。
例2.6個(gè)空瓶可以換一瓶汽水,某班同學(xué)喝了157瓶汽水,其中有一些是用喝剩下來的空瓶換的,那么他們至少要買多少瓶汽水?
A.131 B.130 C.128 D.127
解:5個(gè)空瓶相當(dāng)于一個(gè)瓶子中的水,代入算得A符合題意。
例3.冷飲店規(guī)定一定數(shù)量的汽水空瓶可換原裝汽水1瓶,旅游團(tuán)110個(gè)旅客集中到冷飲店每人購買了1瓶汽水,他們每喝完一定數(shù)量的汽水就用空瓶去換1瓶原裝汽水,這樣他們一共喝了125瓶汽水,則冷飲店規(guī)定幾個(gè)空瓶換1瓶原裝汽水?
A.8 B.9 C.10 D.11
解:用代入法檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)比較快的能得出答案。8個(gè)空瓶換一瓶水就相當(dāng)于7個(gè)空瓶子換一個(gè)瓶子中的水。
6.方隊(duì)人數(shù)問題
學(xué)生排隊(duì),士兵列隊(duì),橫著排叫做行,豎著排叫做列。如果行數(shù)與列數(shù)相等,則剛好排成一個(gè)正方形,這種隊(duì)形就叫方隊(duì),也叫做方陣。要求方陣的人數(shù)關(guān)鍵是要準(zhǔn)確把握方陣問題的核心公式:
1:方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方。
2:方陣最外層每邊人數(shù)=(方陣最外層總?cè)藬?shù)的四分之一再加1。
3:方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層人數(shù)多8.
4:去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)的2倍減去1。
7.不定方程
在大家不斷的做題中,總會碰到這樣一些詞語“至多”,“至少”這些關(guān)鍵詞,由這些關(guān)鍵詞語組成的問題我們就叫不定問題,不定問題的一個(gè)重要思維就是不定方程,通過列不定方程來把這些不確定的關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)化,數(shù)量化。
.例1:今有桃95個(gè),分給甲、乙兩個(gè)工作組的工人吃,甲組分到的桃有 是壞的,其他是好的,乙組分到的桃有 是壞的,其他是好的。甲、乙兩組分到的好桃共有( )個(gè)
A.63 B.75 C.79 D.86
【答案】B。解析:甲組分到的桃是9的倍數(shù),乙組分到的桃是16的倍數(shù),故9m+16n=95,解得m=7,n=2,即甲組分到桃9×7=63個(gè),乙組分到桃16×2=32個(gè)。兩組共分到好桃63×(1- )+32×(1- )=75個(gè)。
例2:甲、乙、丙三人去買書,他們買書的本數(shù)都是兩位數(shù)字,且甲買的書最多,丙買的書最少,又知這些書的總和是偶數(shù),他們的積是3960,那么乙最多買多少本書?( )
A.18 B.17 C.16 D.15
【答案】A。解析:設(shè)甲、乙、丙分別買書x本、y本、z本,則(x+y+z)是偶數(shù),可知x、y、z或者都是偶數(shù),或者兩奇數(shù)一個(gè)偶數(shù),x×y×z=3960=23×32×5×11,若x、y、z都是偶數(shù),則分別為2×11=22,2×32=18,2×5=10;若x、y、z是兩奇一偶,則分別為23×3=24,3×5=15,11。故乙最多買18本。
8.栽樹問題
一般來說栽樹問題有兩類:一類是不封閉的路線,如在馬路兩邊植樹;另一類是封閉的路線,如在正方形操場邊上植樹。下面就這兩類情況分別予以介紹。
首先要注意的是栽樹問題要明確三要素:1、總路線長;2、間距(棵距)長;3、棵數(shù)。只要知道其中任意兩個(gè)量,就可以求出第三個(gè)。
一、直線路線
比如題目要求在馬路一旁栽1排樹,并且在線路兩端都要植樹,則棵數(shù)要比段數(shù)多1。全長、棵數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是:
棵數(shù)= 段數(shù)+1=全長÷株距+1;
全長= 株距×(棵數(shù)-1);
株距= 全長÷(棵數(shù)-1)
例1、(2006國家行測)為把2008年北京奧運(yùn)會辦成綠色奧運(yùn),全國各地都在加強(qiáng)環(huán)保,植樹造林,某單位計(jì)劃在通往兩個(gè)比賽場館的兩條路(不相交)兩旁栽上樹,現(xiàn)運(yùn)回一批樹苗,已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多6000米。若每隔4米栽一棵則少2754棵;若每隔5米栽一棵,則多396棵,則共有樹苗( )。
A.8500棵 B.12500棵 C.12596棵 D.13000棵
解析:設(shè)兩條路共有樹苗x棵,根據(jù)栽樹原理總?cè)L是不變的,所以結(jié)合上面給出的公式可以根據(jù)路程相等列方程:(x+2754 -4)×4 = (x-396-4)×5。
注意:因?yàn)槭?條馬路兩邊都要栽樹,因此共有4排,所以要減4。
解得x=13000.
二、封閉路線
封閉路線只需掌握公式:棵數(shù) = 段數(shù) = 周長÷株距
例2、正方形操場四周栽了一圈樹,每兩棵樹相隔5米。甲、乙從一個(gè)角上同時(shí)出發(fā),向不同的方向走去(如圖),甲的速度是乙的2倍,乙在拐了一個(gè)彎之后的第5棵樹與甲相遇。操場四周栽了多少棵樹?
A 45 B 60 C 90 D 80
解析:方法一:如果按我們之前沒有介紹封閉路線的解法時(shí)的思路是這樣解得,設(shè)每條邊有樹x棵,則根據(jù)題意得 2×[5(x-1)+5×5]=3×5(x-1)-25,解得x=16。
故總共有16×2+14×2=60棵樹。選B。
方法二:由于速度比等于路程比,由提意甲速是乙速,故在乙拐了一個(gè)彎之后的第5棵樹乙走了5×5=25米,在這條邊上甲走了50米,因此正方形的邊長為25+50=75;
利用封閉路線的公式,由于正方形是閉合曲線,所以有樹75×4÷5=60。
9.年齡問題
年齡問題是日常生活中一種十分常見的問題,也是公務(wù)員考試數(shù)學(xué)運(yùn)算部分中的常見題型。它的主要特點(diǎn)是:時(shí)間發(fā)生變化,年齡在增長,但是年齡差始終不變。年齡問題往往是“和差”、“差倍”等問題的綜合應(yīng)用。解題時(shí),我們一定要抓住年齡差不變這個(gè)解題關(guān)鍵。
解答年齡問題的一般方法:
幾年后的年齡=大小年齡差÷倍數(shù)差-小年齡
幾年前的年齡=小年齡-大小年齡差÷倍數(shù)差
方程法解年齡問題
熟練掌握了年齡關(guān)系之后,便可設(shè)所求為未知數(shù),利用上述關(guān)系列方程求解。
例1:
爸爸、哥哥、妹妹現(xiàn)在的年齡和是64歲。當(dāng)爸爸的年齡是哥哥的3倍時(shí),妹妹是9歲;當(dāng)哥哥的年齡是妹妹的2倍時(shí),爸爸34歲?,F(xiàn)在爸爸的年齡是多少歲?
A.34 B.39 C.40 D.42
【答案】C。解析:解法一:用代入法逐項(xiàng)代入驗(yàn)證。解法二,利用“年齡差”是不變的,列方程求解。設(shè)爸爸、哥哥和妹妹的現(xiàn)在年齡分別為:x、y和z。那么可得下列三元一次方程:x+y+z=64;x-(z-9)=3[y-(z-9)];y-(x-34)=2[z-(x-34)]??汕蟮脁=40。
例2:
1998年,甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年,甲的年齡是乙的年齡的3倍。問甲、乙二人2000年的年齡分別是多少歲?
A.34歲,12歲 B.32歲,8歲 C.36歲,12歲 D.34歲,10歲
【答案】C。解析:抓住年齡問題的關(guān)鍵即年齡差,1998年甲的年齡是乙的年齡的4倍,則甲乙的年齡差為3倍乙的年齡,2002年,甲的年齡是乙的年齡的3倍,此時(shí)甲乙的年齡差為2倍乙的年齡,根據(jù)年齡差不變可得
3×1998年乙的年齡=2×2002年乙的年齡
3×1998年乙的年齡=2×(1998年乙的年齡+4)
1998年乙的年齡=4歲
則2000年乙的年齡為10歲。
巧用年齡差求解
年齡問題中不管涉及的是多少年前還是多少年后的年齡,唯一不變的是年齡差。所以用年齡差來做運(yùn)算過程中的基準(zhǔn)量便可以大大簡化計(jì)算過程。如果能深刻理解年齡差的作用,在面對年齡問題時(shí),更可以瞬間找到切入點(diǎn)。如下題:
10年前吳昊的年齡是他兒子年齡的7倍,15年后,吳昊的年齡是他兒子的2倍。則現(xiàn)在吳昊的年齡是多少歲?( )
A.45 B.50 C.55 D.60
解析:由“15年后,吳昊的年齡是他兒子的2倍”可知,15年后,吳昊兒子的年齡即為2人的年齡差。那么10年前吳昊兒子的年齡為1÷(7-1)= 個(gè)年齡差,故10+15=25年,即為1- = 個(gè)年齡差,年齡差為25÷ =30年。所以吳昊今年的年齡為30×2-15=45歲。在這道題中年齡差成了一個(gè)衡量年齡的基準(zhǔn)量,用它來代表各個(gè)人物各時(shí)期的年齡,不但簡化了計(jì)算過程、不易出錯(cuò),更使得題目容易理解。 - 國考行政訴訟和行政復(fù)議管轄之??紗栴}
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10. 奇數(shù)和偶數(shù)
奇數(shù):不能被2整除的整數(shù);
偶數(shù):能被2整除的整數(shù),這里要注意零也是整數(shù)。
性質(zhì)1:奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)
性質(zhì)2:偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)
性質(zhì)3:奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)
性質(zhì)4:奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)
性質(zhì)5:奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)
例題1、10個(gè)連續(xù)自然數(shù),其中的奇數(shù)之和為85,在這10個(gè)連續(xù)自然數(shù)中,是3的倍數(shù)的數(shù)字之和為多少?
解析:奇數(shù)之和為85,總共有5項(xiàng),那么中間哪個(gè)數(shù)就為17,可以知道這5個(gè)奇數(shù)為13,15,17,19,21;由次可知這10個(gè)數(shù)可能為12-21和13-22,由于要3的倍數(shù)的數(shù)字之和最大,那么只可以是12+15+18+21=66。
例題2、書店有單價(jià)為10分,15分,25分,40分的四種賀年卡,小華花了幾張一元錢,正好買了30張,其中某兩種各5張,另兩種各10張,問小華買賀年卡花去多少錢?
解析:設(shè)買的賀年卡分別為 張,用去 張1元的人民幣,依題意有 + =100 ,( 為整數(shù))即 顯然 具有相同的奇偶性,若同為偶數(shù), 和 , = 不是整數(shù);若同為奇數(shù), 和 。
11.公約數(shù)和公倍數(shù)
主要考點(diǎn):
最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的題一般不是很難,只要我們仔細(xì)的閱讀題,都可以做出來,這種題往往和日期(星期幾)問題聯(lián)系在一起,所以我們也要學(xué)會求余。特別指出的是,它們是公考中考試的熱點(diǎn),在考試中出現(xiàn)的概率很大。
最大公約數(shù):如果一個(gè)自然數(shù) 能被自然數(shù) 整除,則稱 為 的約數(shù),幾個(gè)自然數(shù)公有的約數(shù),叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù),稱為這幾個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。
最小公倍數(shù):如果一個(gè)自然數(shù) 能被自然數(shù) 整除,則稱 為 的倍數(shù),幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù),叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的一個(gè)大于0的公倍數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
【經(jīng)典例題】
1、三位采購員定期去某商店,小王每隔9天去一次,大劉每隔11天去一次,老楊每隔7天去一次,三熱年星期二第一次在商店相會,下次相會是星期幾?
A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四
解析:這道題不難,但要注意審題,看上去好象是9,11,7的最小公倍數(shù)問題,但這里有個(gè)關(guān)鍵詞“每隔”,每隔9天,其實(shí)已過了10天,所以要求的是10,12,8的最小公倍數(shù),它們的公倍數(shù)為120,120÷7=17余1,所以下一次相會是在星期三。
2、自然數(shù)P滿足下列條件:P除以10的余數(shù)為9,除以9的余數(shù)為8,除以8的余數(shù)為7。如果100<P<1000,則這樣的P有幾個(gè)?
A.不存在 B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
解析:P除以10的余數(shù)為9,那么P+1是10的倍數(shù);
P除以9的余數(shù)為8,那么P+1是9的倍數(shù);
P除以8的余數(shù)為7,那么P+1是8的倍數(shù);
所以,P+1是10,9,8的公倍數(shù),10,9,8的最小公倍數(shù)為360,則在100到1000中這樣的P+1共有2個(gè),及360,720。
12. 重復(fù)數(shù)字的因式分解
【主要考點(diǎn)】
核心提示:重復(fù)數(shù)字的因式分解在公考中是一個(gè)重要考點(diǎn),這個(gè)考點(diǎn)是建立在數(shù)字構(gòu)造具有一定規(guī)律和特點(diǎn)的基礎(chǔ)上的。
例如:2424=24×101,101101=101×1001,2230223=22302230/10=2230×10001/10=223×10001。這些在數(shù)字構(gòu)造上具有一定特點(diǎn)的數(shù)字都可以變換成因式相乘的形式。
【經(jīng)典例題】
1.2002×20032003-2003×20022002=?
原式=2002×2003×10001-2003×2002×10001=0
2.9039030÷43043=?
原式=903×1001×10÷(43×1001)=210
3.37373737÷81818181=?
原式=(37×1010101)÷(81×1010101)=37/81
13.整體代換法
【主要考點(diǎn)】
這類計(jì)算題先不要急于去計(jì)算出具體結(jié)果,先觀察所求的式子,盡量多的找出其中的同類項(xiàng),把同類項(xiàng)做為一個(gè)整體參量計(jì)算,最后在計(jì)算具體結(jié)果,這樣便能省去不少計(jì)算量。
【經(jīng)典例題】
1. 為多少?
分析:這道題,如果我們直接算的話會很煩瑣,展開式的項(xiàng)數(shù)太多,增加計(jì)算量,先觀察沒項(xiàng)的相同部分,可知為 ,令 = ,令分式 = ,這樣原式就簡化為 ,這樣來計(jì)算就簡便多了。
14.裂項(xiàng)相消法
【主要考點(diǎn)】
我們來看這樣一個(gè)式子
對于這樣一個(gè)式子 =,如果我們用一般方法來算,肯定是會很復(fù)雜,那么我們來觀察一下 ,它是不是可以寫成 ,如果當(dāng)分母上的兩個(gè)數(shù)相差 時(shí),也就是 ,我們來看 把它分成兩項(xiàng)(兩個(gè)分式)是不是可以寫成 ,這就是我們的裂項(xiàng)法,分母上 和 兩項(xiàng)通分后我們在來觀察和 的區(qū)別。
【經(jīng)典例題】
1. =?
分析:原式= =1-
一般這個(gè)知識點(diǎn)還有這樣一個(gè)方式來考察:
=2000,這也是一個(gè)求和問題。
15.錯(cuò)位相減法
【主要考點(diǎn)】
一般的,通項(xiàng)形如 × (其中 為等差數(shù)列, 為等比數(shù)列)的數(shù)列求和問題,可以考慮采用錯(cuò)位相減法
【經(jīng)典例題】
1.求數(shù)列 前 項(xiàng)的和。
解析:由題知, 的通項(xiàng)是等差數(shù)列 的通項(xiàng)與等比數(shù)列 的通項(xiàng)之積。
設(shè)
兩式相減得:(1- ) =
=
得出:
16.放縮法
【主要考點(diǎn)】
放縮法所應(yīng)對的題主要是不等式的題,它是一種比較靈活的計(jì)算技巧,對算術(shù)式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蛘呖s小,就能得到正確的答案。
放縮法所運(yùn)用到的一個(gè)定理,這個(gè)定理我們學(xué)過,就是我們高中時(shí)候?qū)W過的夾逼定理。
夾逼定理:當(dāng)B≤A≤B時(shí),那么A=B。
【經(jīng)典例題】
1.設(shè) 是正整數(shù),求證: ≤ ≤1。
解析:令 =A,那么A≤ ;
A≥ ,故 ≤A≤1。
17.利用項(xiàng)與項(xiàng)之間關(guān)系
【主要考點(diǎn)】
一般地,當(dāng)給出第 項(xiàng)和第 項(xiàng)之間的計(jì)算關(guān)系式時(shí),我們通過對此關(guān)系式進(jìn)行化簡整理,最后得到一個(gè)我們熟悉的新數(shù)列,然后再進(jìn)行求通項(xiàng)、求前 項(xiàng)的和等運(yùn)算。下面我們通過幾個(gè)例題來進(jìn)一步說明。
【經(jīng)典例題】
1.一列數(shù)排成一排 ,滿足下面關(guān)系式 ,若 =1,則 =()。
A.1 B. C.2007 D.
解析:由 可得: ,即 是一個(gè)公差為1的等差數(shù)列,首項(xiàng)為 =1,那么 ,故 。
2.已知 對任意的非負(fù)整數(shù)都成立,且 。
則 =()。
解析:由 ,可知: ,故原式=2+2+2+2 +2=2×2008=4016。
18.比較大小
【主要考點(diǎn)】
比較大小的問題,在以往的公務(wù)員考試中經(jīng)常出現(xiàn),近幾年的出現(xiàn)率有所降低,但不排除出題的可能。
核心知識點(diǎn):
1、作差法:對任意兩數(shù) ,如果 則 ;如果 則 。
2、作比法:當(dāng) 為任意兩正數(shù)時(shí),如果 則 ;如果 則 。當(dāng) 為任意兩負(fù)數(shù)時(shí),結(jié)論則相反。
3、中間值法:對任意兩數(shù) ,當(dāng)很難直接用作差法和作比法比較大小時(shí), 我們通常選取中間值 ,如果 ,則我們說
4、倒數(shù)法:相近分?jǐn)?shù)比較大小時(shí),可通過比較分?jǐn)?shù)倒數(shù)的大小來比較原分?jǐn)?shù)的大小。
【經(jīng)典例題】
1.分?jǐn)?shù) 中最小的一個(gè)是?
A. B. C. D. (2007年四川省招警)
解析:我們看分母的值大于分子的值,在這種情況下,我們用倒數(shù)法,題中個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)為 ,把分母變小了,這題比較明顯 最大,故 最小。
2.比較 和 大小?
解析:分子增加了4,超過了37的10%,分母增加了15,不到157的10%,所以分?jǐn)?shù)變大了
比較大小,在資料分析里解題的時(shí)候,是一個(gè)重要的估算方法,可以為我們解題節(jié)約很多時(shí)間。 - 國考行政訴訟和行政復(fù)議管轄之??紗栴}
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19.比例問題
【題型特征】
公務(wù)員考試必考題型,數(shù)學(xué)運(yùn)算中最重要的題型之一。
關(guān)鍵知識點(diǎn):和誰比;增加或下降多少。
【經(jīng)典例題】
1.有兩只桶,裝有同樣多的油。第一桶用去 ,第二桶用去40%以后,再從第一桶取出8千克油倒如第二桶,這時(shí)第二桶油與第一桶油的比是13:14。則兩桶油原來各裝有多少千克油?( )
A.200 B.180 C.160 D.240
【答案】C。解析:設(shè)每只桶裝油x千克,可列方程 = ,解得x=160。
2.某人去商店采購紅、黑兩種筆共66枝,紅筆每枝定價(jià)5元,黑筆每枝定價(jià)9元,由于買的數(shù)量較多,商店就給予了優(yōu)惠,紅筆按定價(jià)的 付錢,黑筆按定價(jià)的 付錢,如果他付的錢比按定價(jià)少 ,那么他買了紅筆多少枝?( )
A.36 B.28 C.32 D.30
【答案】A。解析:紅筆的總價(jià)比原來少了1- = ,黑筆的總價(jià)比原來少了1- = ,則紅筆總價(jià)× +黑筆總價(jià)× =(紅筆總價(jià)+黑筆總價(jià))× ,得紅筆總價(jià):黑筆總價(jià)=2:3,故紅筆與黑筆的枝數(shù)比是(2÷5):(3÷9)=6:5,買了紅筆66× =36枝。
20.行程問題
1、 相遇問題:
【知識要點(diǎn)】
甲從A地到B地,乙從B地到A地,然后甲,乙在途中相遇,實(shí)質(zhì)上是兩人共同走了A、B之間這段路程,如果兩人同時(shí)出發(fā),那么
A,B兩地的路程=(甲的速度+乙的速度)×相遇時(shí)間=速度和×相遇時(shí)間
相遇問題的核心是“速度和”問題。
【經(jīng)典例題】
1、甲、乙兩車從A、B兩地同時(shí)出發(fā),相向而行,如果甲車提前一段時(shí)間出發(fā),那么兩車將提前30分相遇。已知甲車速度是60千米/時(shí),乙車速度是40千米/時(shí),那么,甲車提前了多少分出發(fā)( )分鐘。
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
解析:【答案】C,本題涉及相遇問題。
方法1、方程法:設(shè)兩車一起走完A、B兩地所用時(shí)間為x,甲提前了y時(shí),則有, (60+40)x=60[y+(x-30)]+40(x-30), y=50
方法2、甲提前走的路程=甲、乙 共同走30分鐘的路程,那么提前走的時(shí)間為,30(60+40)/60=50
2、甲、乙二人同時(shí)從相距60千米的兩地同時(shí)相向而行,6小時(shí)相遇。如果二人每小時(shí)各多行1千米,那么他們相遇的地點(diǎn)距前次相遇點(diǎn)1千米。又知甲的速度比乙的速度快,乙原來的速度為( )
A.3千米/時(shí) B.4千米/時(shí) C.5千米/時(shí) D.6千米/時(shí)
解析:【答案】B。原來兩人速度和為60÷6=10千米/時(shí),現(xiàn)在兩人相遇時(shí)間為60÷(10+2)=5小時(shí),采用方程法:設(shè)原來乙的速度為X千米/時(shí),因乙的速度較慢,則5(X+1)=6X+1,解得X=4。注意:在解決這種問題的時(shí)候一定要先判斷誰的速度快。
方法2、提速后5小時(shí)比原來的5小時(shí)多走了5千米,比原來的6小時(shí)多走了1千米,可知原來1小時(shí)剛好走了5-1=4千米。
2.二次相遇問題:
【知識要點(diǎn)】
甲從A地出發(fā),乙從B地出發(fā)相向而行,兩人在C地相遇,相遇后甲繼續(xù)走到B地后返回,乙繼續(xù)走到A地后返回,第二次在D地相遇。則有
第二次相遇時(shí)走的路程是第一次相遇時(shí)走的路程的兩倍。
【經(jīng)典例題】
1、甲乙兩車同時(shí)從A、B兩地相向而行,在距B地54千米處相遇,它們各自到達(dá)對方車站后立即返回,在距A地42千米處相遇。請問A、B兩地相距多少千米?
A.120 B.100 C.90 D.80
解析:【答案】A。
方法1、方程法:設(shè)兩地相距x千米,由題可知,第一次相遇兩車共走了x,第二次相遇兩車共走了2x,由于速度不變,所以,第一次相遇到第二次相遇走的路程分別為第一次相遇的二倍,即54×2=x-54+42,得出x=120。
方法2、乙第二次相遇所走路程是第一次的二倍,則有54×2-42+54=120。
3.追擊問題:
【知識要點(diǎn)】
有甲,乙同時(shí)行走,一個(gè)走得快,一個(gè)走得慢,當(dāng)走的慢的走在前,走得快的過一段時(shí)間就能追上。這就產(chǎn)生了“追及問題”。實(shí)質(zhì)上,要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi),比走得慢的人多走的路程,也就是要計(jì)算兩人都的速度差。如果假設(shè)甲走得快,乙走得慢,在相同時(shí)間(追及時(shí)間)內(nèi):
追及路程=甲走的路程-乙走的路程
=甲的速度×追及時(shí)間-乙的速度×追及時(shí)間
=速度差×追及時(shí)間
核心就是“速度差”的問題。
【經(jīng)典例題】
1、一列快車長170米,每秒行23米,一列慢車長130米,每秒行18米。快車從后面追上慢車到超過慢車,共需( )秒鐘
A.60 B.75 C.50 D.55
解析:【答案】A。設(shè)需要x秒快車超過慢車,則(23-18)x=170+130,得出x=60秒。這里速度差比較明顯。
4.流水問題
【知識要點(diǎn)】
我們知道,船順?biāo)叫袝r(shí),船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行進(jìn),同時(shí)整個(gè)水面又按水流動的速度在前進(jìn),因此船順?biāo)叫械膶?shí)際速度(簡稱順?biāo)俣龋┚偷扔诖俸退俚暮?,即?br />
順?biāo)俣?船速+水速
同理:逆水速度=船速-水速
可推知:船速=(順?biāo)俣?逆水速度)/2;水速=(順?biāo)俣?逆水速度)/2
【經(jīng)典例題】
1、一艘輪船從河的上游甲港順流到達(dá)下游的丙港,然后調(diào)頭逆流向上到達(dá)中游的乙港,共用了12小時(shí)。已知這條輪船的順流速度是逆流速度的2倍,水流速度是每小時(shí)2千米,從甲港到乙港相距18千米。則甲、丙兩港間的距離為( )
A.44千米 B.48千米 C.30千米 D.36千米
解析:【答案】A。順流速度-逆流速度=2×水流速度,又順流速度=2×逆流速度,可知順流速度=4×水流速度=8千米/時(shí),逆流速度=2×水流速度=4千米/時(shí)。
方法1、方程法:設(shè)甲、丙兩港間距離為X千米,可列方程X÷8+(X-18)÷4=12 解得X=44。
方法2、往返乙、丙所用時(shí)間=12-18÷8=39/4,從乙到丙順?biāo)脮r(shí)間是逆水的1/2,順?biāo)叫袝r(shí)間=39/4×1/3=13/4,則乙丙距離=13/4×8=26,故所求距離=18+26=44。
21.工程問題
【題型特征】
核心公式:工作效率×工作時(shí)間=工作量(常設(shè)為“1”)。
【經(jīng)典例題】
1、一篇文章,甲乙兩人合譯,需10小時(shí)完成,乙丙合譯,需12小時(shí)完成,現(xiàn)先由甲丙合譯4小時(shí),剩下再由乙獨(dú)譯,需12小時(shí)完成,求乙單獨(dú)翻譯需多少小時(shí)?
解析:方程法:設(shè)單獨(dú)完成甲需a小時(shí),乙需b小時(shí),丙需c小時(shí)。
4(1/a+1/c)+12/b=1, 1/a+1/b=1/10,1/b+1/c=1/12. b=15.
列表法:
甲 乙 丙
10 10
12 12
4 12 4
由表:甲4小時(shí)工作量=丙8小時(shí)工作量,可知,相應(yīng)速度比=2:1故,甲工作10小時(shí)相當(dāng)于丙工作20小時(shí)。從而有,
乙2小時(shí)工作量=丙8小時(shí)工作量,可知,乙丙速度比=4:1,則丙工作12小時(shí)相當(dāng)于乙工作3小時(shí),則乙單獨(dú)需=12+3=15小時(shí)。
22.濃度問題
【題型特征】
核心公式:溶液濃度=溶質(zhì)/溶液=溶質(zhì)/(溶質(zhì)+溶劑)
【經(jīng)典例題】
1、 甲容器中有濃度為4%的鹽水150克,乙容器中有某種濃度的鹽水若干,從乙中取出450克鹽水,放入甲中混合成濃度為8.2%的鹽水,那么乙容器中的濃度是多少?
解析:法1、方程法:
法2、十字交叉法:
4% 1.4% 150
8.2%
? =9.6% 4.2% 450
2把濃度為20%、30%和50%的某溶液混合在一起,得到濃度為36%的溶液50升。已知濃度為30%的溶液用量是濃度為20%的溶液用量的2倍,濃度為30%的溶液的用量是多少升?
解析:法1、方程法:
法2、十字交叉法:
20% 14% /2
30% 36% 6%
50% 16% 50- - /2
故有:14%(50- - /2)= 16%( /2)+ 6 %, =20。 - 國考行政訴訟和行政復(fù)議管轄之??紗栴}
- 詳析03-04年國家公務(wù)員真題之?dāng)?shù)字推理
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23.利潤利率
【題型特征】
基本概念:成本、銷售價(jià)、利潤、利潤率。
核心公式:利潤=銷售價(jià)-成本
利潤率=利潤/成本=(銷售價(jià)-成本)/成本=銷售價(jià)/成本-1。
銷售價(jià)=成本×(1+利潤率)
成本=銷售價(jià)/(1+利潤率)
【經(jīng)典例題】
1、商店新進(jìn)一批洗衣機(jī),按30%的利潤定價(jià),售出60%以后,打八折出售,這批洗衣機(jī)實(shí)際利潤的百分?jǐn)?shù)是多少?
A.18.4 B.19.2 C.19.6 D.20
.【答案】C。解析:先賣掉60%收回的錢為1×(1+30%)×60%=78%,后賣掉40%收回的錢為1×(1+30%)×80%×(1-60%)=41.6%,故實(shí)際利潤的百分?jǐn)?shù)為78%+41.6%-100%=19.6%。
2.某商品按定價(jià)出售,每個(gè)可以獲得45元的利潤,現(xiàn)在按定價(jià)的八五折出售8個(gè),按定價(jià)每個(gè)減價(jià)35元出售12個(gè),所能獲得的利潤一樣。這種商品每個(gè)定價(jià)多少元?( )
A.100 B.120 C.180 D.200
【答案】D。解析:每個(gè)減價(jià)35元出售可獲得利潤(45-35)×12=120元,則如按八五折出售的話,每件商品可獲得利潤120÷8=15元,少獲得45-15=30元,故每個(gè)定價(jià)為30÷(1-85%)=200元。
24. 牛吃草問題
【題型特征】
2006年后的公務(wù)員考試中出現(xiàn)了一些較難的“牛吃草”問題,這類題在理解上有一定的難度,但如果掌握了關(guān)鍵點(diǎn),便較容易解答。
關(guān)鍵知識點(diǎn):1、草場原有的草量。2、草場每天生長的草量;3、牛每天吃的草量。
核心關(guān)系式:
牛吃草總量(牛頭數(shù)×時(shí)間)=原有草量+新長出草量(每天長草量×時(shí)間)
總量的差/時(shí)間差=每天長草量=安排去吃新草的牛的數(shù)量
原有草量/安排吃原有草的牛的數(shù)量=能吃多少天。
單位:1頭牛1天吃草的量
【經(jīng)典例題】
1、一片牧草,可供16頭牛吃20天,也可以供20頭牛吃12天,那么25頭牛幾天可以吃完?
解析:法1(方程法),等量關(guān)系:原有草量相等。
設(shè)每頭每天吃草量為“1”, 天吃完,每天長草量
16×20-20 =20×12-12 =25 - , =8, =10.
法2,速度差(追及問題),吃完草可以看著是牛追上草。
?。ㄅ3圆菟俣?草生長速度)×時(shí)間(天數(shù))=原有草量
20(16- )=12(20- )= (25- ), =8, =10.
法3(利用基本關(guān)系式)
總量的差/時(shí)間差=每天長草量,(16×20-20×12)/(20-12)=10;
原有草量=牛吃草總量-新長出草量,16×20-20×10=120;
25頭牛分10頭吃每天長出的草,還剩15頭吃原有的草,120/15=8天。
2、有一個(gè)水池,池底有泉水不斷涌出。用5臺抽水機(jī)20小時(shí)可將水抽完,用8臺抽水機(jī)15小時(shí)可將水抽完。如果14臺抽水機(jī)需多少小時(shí)可以抽完?( )
A.25 B.30 C.40 D.45
解析:泉水每小時(shí)涌出量為:(8×15-5×20)÷(20-15)=4份水;
原來有水量:8×15-4×15=60份;
用4臺抽涌出的水量,10臺抽原有的水,需60/10=6小時(shí)。
25. 容斥問題
【題型特征】
容斥原理的集合描述:
1.
2.
【經(jīng)典例題】
1.對某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽,38人喜歡看戲劇,52人喜歡看電影,既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人,既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人,三種都喜歡看的有12人,則只喜歡看電影的有:
A.22人 B.28人 C.30人 D.36人 (2005年國家A類行測真題)
正確答案【A】
解法1:設(shè)A=喜歡看球賽的人(58),B=喜歡看戲劇的人(38),C=喜歡看電影的人(52),則有:
A∩B=既喜歡看球賽的人又喜歡看戲劇的人(18)
B∩C=既喜歡看電影又喜歡看戲劇的人(16)
A∩B∩C=三種都喜歡看的人(12)
A∪B∪C=看球賽和電影、戲劇至少喜歡一種(100)
根據(jù)公式:A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
C∩A=A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C)
=148-(100+18+16-12)=26
所以,只喜歡看電影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C
?。?2-16-26+12=22
26.抽屜原理
【題型特征】
我們先來看一個(gè)例子,如果將13只鴿子放進(jìn)6只鴿籠里,那么至少有一只籠子要放3只或更多的鴿子。道理很簡單。如果每只鴿籠里只放2只鴿子,6只鴿籠共放12只鴿子。剩下的一只鴿子無論放入哪只鴿籠里,總有一只鴿籠放了3只鴿子。這個(gè)例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想,就是下面的抽屜原理2。
抽屜原理1:將多于n件物品任意放到n個(gè)抽屜中,那么知道有一個(gè)抽屜中的物品件數(shù)不少于2個(gè)。
抽屜原理2:將多于m×n件的物品任意放到n個(gè)抽屜中,那么至少有一個(gè)抽屜中的物品的件數(shù)不少于m+1。
【經(jīng)典例題】
1. 一個(gè)布袋中有40塊相同的木塊,其中編上號碼1,2,3,4的各有10塊。問:一次至少要取出多少木塊,才能保證其中至少有3塊號碼相同的木塊?
解析:將1,2,3,4四種號碼看成4個(gè)抽屜。要保證有一個(gè)抽屜中至少有3件物品,根據(jù)抽屜原理2,至少要有4×2+1=9(件)物品。所以一次至少要取出9塊木塊,才能保證其中有3塊號碼相同的木塊。
2.在一個(gè)口袋中有10個(gè)黑球、6個(gè)白球、4個(gè)紅球,至少從中取出多少個(gè)球才能保證其中有白球?
A.14 B.15 C.17 D.18
解析:抽屜原理,最壞的情況是10個(gè)黑球和4個(gè)白球都拿出來了,最后第15次拿到的肯定是白球。
27. 排列組合問題
【題型特征】
加法原理:做一件事,完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,……,在第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有:
N=m1+m2+…+mn
種不同方法。
再看下面一道例題:
問題2:由A村去B村的道路有3條,由B村去C村的道路有2條.從A村經(jīng)B村去C村,共有多少種不同的走法?
乘法原理:做一件事,完成它可以有n個(gè)步驟,在第一個(gè)步驟中有m1種不同的方法,在第二個(gè)步驟中有m2種不同的方法,……,在第n個(gè)步驟中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有:
N=m1×m2×…×mn
種不同的方法。
排列
從n個(gè)不同元素中,任取m( )個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列
1. 什么叫不同的排列?//**元素和順序至少有一個(gè)不同.//
2. 什么叫相同的排列?//**元素和順序都相同的排列.//
排列數(shù)
從n個(gè)不同元素中,任取m( )個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù),用符號 表示. 其中 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
例題:由數(shù)字1、2、3、4可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?
組合
從n個(gè)不同元素種取出m( )個(gè)元素拼成一組,稱為從n個(gè)不同元素取出m個(gè)元素的一個(gè)組合
組合數(shù)
從n個(gè)不同元素中,任取m( )個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的組合數(shù),用符號 表示. 其中 = n(n-1)(n-2)…(n-m+1)/m!
組合數(shù)性質(zhì):
二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)知識:
【經(jīng)典例題】
1:某鐵路線上有25個(gè)大小車站,那么應(yīng)該為這條路線準(zhǔn)備多少種不同的車票( )。
A.625 B.600 C.300 D.450
解析:此題的關(guān)鍵是要分清到底屬于排列問題還是組合問題,此題要問有多少種不同的車票,在這里從甲地到乙地和從乙地到甲地(即往返票)是要準(zhǔn)備兩種車票的,故屬于排列問題,即 =600種。相對應(yīng)的我們看下面這道題
2:從6名男生,5名女生中任選4人參加競賽,要求男女至少各1名,有多少種不同選法?
A.240 B.310 C.720 D.1080
解析;此題中正面考慮情況比較多,采用間接法,至少1名的反面就是分別只選男生或者女生,故共有 =310種
3.6個(gè)人站成一排,要求甲、乙必須相鄰,那么有多少種不同的排法?
A.280 B.120 C.240 D.360
解析:將甲、乙“捆綁”在一起,看做是一個(gè)人參與排列,注意甲乙本身的順序(即甲在乙的左邊還是右邊),那么共有: =240種。
4.將10臺電腦分配給5個(gè)村,每村至少一臺,那么有所少中不同的分配方法?
A.126 B.320 C.3024 D.1024
解析:10臺電腦并成一排,內(nèi)部形成9個(gè)孔空,任意在這9個(gè)空中插入4個(gè)板,那么就把著10臺電腦分成了5部分,每一種插法就對應(yīng)一種分配方法,故有 =126種方法
28. 簡單概率問題
【題型概述】
1. 隨機(jī)事件基本概念
隨機(jī)事件:在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件;
必然事件:在一定條件下必然要發(fā)生的事件;
不可能事件:在一定條件下不可能發(fā)生的事件
1.古典概型中,概率的定義:
P(A)=
【經(jīng)典例題】
1.將一個(gè)硬幣擲兩次,恰好有一次正面朝上且有一次反面朝上的概率是多少?( )。 (07浙江B) (07浙江B類)
A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 D. 2/3
解析:硬幣投擲兩次一共可能的情況有:(正,正)(正,反)(反,正)(反,正),那么有一次為正且有一次為反的概率為2÷4= ,選A。
2.有一個(gè)擺地?cái)偟臄傊?,他拿?個(gè)白球,3個(gè)黑球,放在一個(gè)袋子里,讓人們摸球中獎。只需2元就可以從袋子里摸3個(gè)球,如果摸到的3個(gè)球都是黑球,可得10元回扣,那么中獎率是多少?如果一天有300人摸獎,攤主能騙走多少元? (05山東行測)
A. B. C. ,420 D.
解析:把3次都摸到黑球看作事件A,那么試驗(yàn)的結(jié)果總數(shù)為從6個(gè)球中任取3個(gè)球的取法共 種,有利于A的結(jié)果總數(shù)為1種,故所求中獎率為:
=
攤主騙走的錢為:300×2-300× ×10=450元,選B。
29. 題型概述
【基礎(chǔ)理論】
1)基本公式
周長 面積
梯形
圓
2)
柱體 體積 表面積
棱柱
圓柱
椎體 棱錐
圓錐
球體
3)基本性質(zhì)
圖形 性質(zhì)
三角形 1) 等底等高的兩個(gè)三角形面積相等
2) 直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半
3) 相似圖形邊長比等于相似比,面積比為相似比的平方
圓 1) 同弧所對的圓周角等于圓心角的一半
2) 周長相同的所有平面圖形中,圓的面積最大
【經(jīng)典例題】
1.相同表面積的四面體,六面體,正十二面體以及正二十面體,其中體積最大的是:
A.四面體 B.六面體 C.正十二面體 D.正二十面體 (2008國家行側(cè))
【答案】D。解析:當(dāng)表面積相同時(shí),趨近于圓的空間幾何體體積最大。
2.一只小鳥離開在樹枝上的鳥巢,向北飛了10米,然后又向東飛了10米,然后又向上飛了10米。最后,它沿著到鳥巢的直線飛回了家,請問:小鳥飛行的總長度與下列哪個(gè)最接近?
A.17米 B. 40米 C.47米 D. 50米 (2008北京應(yīng)屆)
【答案】C。解析:此題需要一定的空間想象能力,關(guān)鍵是求出直線飛回家的的距離:
=10 ≈17,故總長度為:10+10+10+10 ≈47,選C
30.數(shù)學(xué)歸納法
【題型概述】
核心知識:數(shù)學(xué)歸納法就是用一部分規(guī)律來概括全體的規(guī)律,那么就可以用這個(gè)規(guī)律來解決所有類似問題。在公考中,數(shù)字推理題就是數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)廣泛應(yīng)用,從已知條件(數(shù)列),總結(jié)出該數(shù)列的規(guī)律,在推廣應(yīng)用得到下個(gè)數(shù)字。邏輯推理中的歸納推理,歸納推理是從若干個(gè)別性的前提出發(fā),推出一個(gè)一般性結(jié)論的推理。歸納推理的前提本身是個(gè)別性、經(jīng)驗(yàn)性的,而其結(jié)論對于前提來說則是一般性、普遍性的。歸納推理是由具體到抽象、感性到理性、特殊到一般的一種思維上升。
【經(jīng)典例題】
1.在一張正方形的紙片上有900個(gè)點(diǎn),加上正方形的4個(gè)頂點(diǎn),共有904個(gè)點(diǎn),這些點(diǎn)中任意3個(gè)點(diǎn)不共線,將這張紙剪成三角形,每個(gè)三角形的薩那個(gè)點(diǎn)是904個(gè)點(diǎn)中的點(diǎn),每個(gè)三角形都不含這些點(diǎn),可以剪成多少個(gè)三角形?。
解析:正方形中有1個(gè)點(diǎn)時(shí),按題意可以分為4個(gè)三角形
當(dāng)其中有兩個(gè)點(diǎn)時(shí)(任意三點(diǎn)不在同一直線上),按題意可以分為6個(gè)三角形。
以后每增加一個(gè)點(diǎn)(任意三點(diǎn)不在同一直線上),按題意將增加2個(gè)三角形。
當(dāng)其中有900個(gè)點(diǎn)時(shí),三角形的數(shù)目為:4+(900-1)×2=1802。
2.有一樓梯共10級,如規(guī)定每次只能跨上一級或兩級,要蹬上第10級,共有多少種不同的走法?
解析:當(dāng)臺階數(shù)為1時(shí),有1種辦法
當(dāng)臺階數(shù)為2時(shí),有2種辦法
當(dāng)臺階數(shù)為3時(shí),有3種辦法
……
隨著臺階數(shù)的增加,方法數(shù)正好是下面的數(shù)列
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ……該數(shù)列為一和數(shù)列。前2項(xiàng)和等于第3項(xiàng)。 - 國考行政訴訟和行政復(fù)議管轄之??紗栴}
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