先證滿射。對(duì)任意，有所以存在使得Df(x)=f’(x)=g(x)，即D是V到V上的滿射。

再證單射。對(duì)于f₁(x)=a₁cosx+b₁sinx∈V和f₂(x)=a₂cosx+b₂sinx∈V ，如果f₁(x)≠f₂(x)，則對(duì)于任意x∈R都成立，所以a₁=a₂和b₁=b₂不同時(shí)成立。

Df₁(x)=-a₁sinx+b₁cosx，Df₂(x)=-a₂sinx+b₂cosx則Df₁(x)≠Df₂(x)。若不然,有Df₁(x)=-a₁sinx+b₁cosx=-a₂sinx+b₂cosx=Df₂(x)對(duì)任意x∈R都成立。當(dāng)x=0時(shí),有b₁=b₂；當(dāng)時(shí)，有a₁=a₂，與“f₁(x)≠f₂(x)，時(shí) a₁=a₂和b₁=b₂不同時(shí)成立?！毕嗝堋＜醋C得D是V到V上的單射。

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

設(shè)f是從集合A到集合B的映射，

若f(A)=B，即B中任一元素b都是A中某元素的像，則稱f為A到B上的滿射；

若對(duì)A中任意兩個(gè)不同元素a₁≠a₂，它們的像f(a₁) ≠f(a₂),則稱f為A到B的單射；

若映射f既是單射，又是滿射，則稱映射f為A到B的"雙射”(或“一一映射”)。