注冊結構工程師試題輔導：卡氏第二定理模擬題(1)

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卡氏第二定理

1.卡氏第二定理

線彈性結構的變形能對任一廣義力的偏導數等于對應于該廣義力的廣義位移。

2.討論

(1)適用于線彈性結構(材料線彈性，結構幾何線性)在小變形情況下的結構位移計算。

(2)δi是表示力Pi作用點沿Pi方向、與Pi相應的廣義位移。用卡氏定理計算某截面的位移時，若該處沒有相應的廣義力作用，可在該處加一虛擬的與所求位移相應的廣義力，在求得偏導數后再令其為零。

(3)由于變形能是對截面位置x的積分，而卡氏定理是對相應廣義力求導，故先積分后求導、或先求導后積分沒有影響。因此具體計算中，可不必求出結構的變形能，而可直接用下列各式計算

拉壓桿系的位移

梁的位移

剛架位移

[例 5—8—1] 用積分法求圖5—8—3所示各梁的撓曲線方程時，試問應分為幾段?將出現幾個積分常數? 并寫出各梁的邊界條件和連續(xù)條件。

[解] (a)撓曲線方程應分為兩段，共有四個積分常數。

邊界條件為

連續(xù)條件為

(b)撓曲線方程應分為兩段，共有四個積分常數。

邊界條件為

式中 K為彈簧的剛度。

連續(xù)條件為

(c)撓曲線方程應分為兩段，共有四個積分常數。

邊界條件為

連續(xù)條件為

分析與討論

(1)凡荷載有突變處、有中間支承處、截面有變化處或材料有變化處，均應作為分段點。

(2)中間鉸視為兩個梁段間的聯系，此種聯系體現為兩部分之間的相互作用力，故應作為分段點。

(3)各分段點處都應列出連續(xù)條件。根據梁變形的連續(xù)性，對同一截面只可能有唯一確定的撓度和轉角值。在中間鉸處，雖然兩側轉角不同，但撓度卻是唯一的。

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