2013年內(nèi)蒙古公務(wù)員考試行測：最短路徑問題
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一. 平面最短路徑
“平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的線中，直線段最短?！?/p>
在求最短路線時(shí)，一般我們先用“對稱”的方法化成兩點(diǎn)之間的最短距離問題，而兩點(diǎn)之間直線段最短，從而找到所需的最短路線.像這樣將一個(gè)問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)和它等價(jià)的問題，再設(shè)法解決，是數(shù)學(xué)中一種常用的重要思想方法
【例題】 如下圖，偵察員騎馬從A地出發(fā)，去B地取情報(bào).在去B地之前需要先飲一次馬，如果途中沒有重要障礙物，那么偵察員選擇怎樣的路線最節(jié)省時(shí)間。
【解析】要選擇最節(jié)省時(shí)間的路線就是要選擇最短路線.
作點(diǎn)A關(guān)于河岸的對稱點(diǎn) A′，即作 AA′垂直于河岸，與河岸相交，連接A′B交河岸于一點(diǎn)O，這時(shí)O點(diǎn)就是飲馬的最好位置，連接 OA，此時(shí) OA+OB就是偵察員應(yīng)選擇的最短路線
一. 空間最短路徑
想求相鄰兩個(gè)平面上的兩點(diǎn)之間的最短路線時(shí)，可以把不同平面轉(zhuǎn)成同一平面，此時(shí)，把處在同一平面上的兩點(diǎn)連起來，所得到的線段還原到原始的兩相鄰平面上，這條線段所構(gòu)成的折線，就是所求的最短路線.
【例題】長方體ABCD―A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小蟲從頂點(diǎn)D′出發(fā)，沿長方體表面爬到B點(diǎn)，問這只小蟲怎樣爬距離最短?
【解析】因?yàn)樾∠x是在長方體的表面上爬行的，所以必需把含D′、B兩點(diǎn)的兩個(gè)相鄰的面“展開”在同一平面上，在這個(gè)“展開”后的平面上 D′B間的最短路線就是連結(jié)這兩點(diǎn)的直線段，這樣，從D′點(diǎn)出發(fā)，到B點(diǎn)共有三條路線供選擇.
?、購腄′點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)，將這兩個(gè)面攤開在一個(gè)平面上，這時(shí)在這個(gè)平面上D′、B間的最短路線距離就是連接D′、B兩點(diǎn)的直線段，它是直角三角形ABD′的斜邊，根據(jù)勾股定理，D′B2=D′A2+AB2=(1+2)2+42=25，∴D′B=5.
②從D′點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)．將這兩個(gè)面攤開在同一平面上，同理求得在這個(gè)平面上D′、B兩點(diǎn)間的最短路線，有：D′B2＝22+（1+4）2=29．
比較三條路線，顯然情形①中的路線最短，所以小蟲從D′點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的路線是最短路線，它的長度是5個(gè)單位長度.
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