2013年內(nèi)蒙古公務(wù)員考試行測:最短路徑問題
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一. 平面最短路徑
“平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的線中,直線段最短?!?/p>
在求最短路線時(shí),一般我們先用“對稱”的方法化成兩點(diǎn)之間的最短距離問題,而兩點(diǎn)之間直線段最短,從而找到所需的最短路線.像這樣將一個(gè)問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)和它等價(jià)的問題,再設(shè)法解決,是數(shù)學(xué)中一種常用的重要思想方法
【例題】 如下圖,偵察員騎馬從A地出發(fā),去B地取情報(bào).在去B地之前需要先飲一次馬,如果途中沒有重要障礙物,那么偵察員選擇怎樣的路線最節(jié)省時(shí)間。
【解析】要選擇最節(jié)省時(shí)間的路線就是要選擇最短路線.
作點(diǎn)A關(guān)于河岸的對稱點(diǎn) A′,即作 AA′垂直于河岸,與河岸相交,連接A′B交河岸于一點(diǎn)O,這時(shí)O點(diǎn)就是飲馬的最好位置,連接 OA,此時(shí) OA+OB就是偵察員應(yīng)選擇的最短路線
一. 空間最短路徑
想求相鄰兩個(gè)平面上的兩點(diǎn)之間的最短路線時(shí),可以把不同平面轉(zhuǎn)成同一平面,此時(shí),把處在同一平面上的兩點(diǎn)連起來,所得到的線段還原到原始的兩相鄰平面上,這條線段所構(gòu)成的折線,就是所求的最短路線.
【例題】長方體ABCD―A′B′C′D′中,AB=4,A′A=2′,AD=1,有一只小蟲從頂點(diǎn)D′出發(fā),沿長方體表面爬到B點(diǎn),問這只小蟲怎樣爬距離最短?
【解析】因?yàn)樾∠x是在長方體的表面上爬行的,所以必需把含D′、B兩點(diǎn)的兩個(gè)相鄰的面“展開”在同一平面上,在這個(gè)“展開”后的平面上 D′B間的最短路線就是連結(jié)這兩點(diǎn)的直線段,這樣,從D′點(diǎn)出發(fā),到B點(diǎn)共有三條路線供選擇.
?、購腄′點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn),將這兩個(gè)面攤開在一個(gè)平面上,這時(shí)在這個(gè)平面上D′、B間的最短路線距離就是連接D′、B兩點(diǎn)的直線段,它是直角三角形ABD′的斜邊,根據(jù)勾股定理,D′B2=D′A2+AB2=(1+2)2+42=25,∴D′B=5.
②從D′點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過左側(cè)面,然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn).將這兩個(gè)面攤開在同一平面上,同理求得在這個(gè)平面上D′、B兩點(diǎn)間的最短路線,有:D′B2=22+(1+4)2=29.
比較三條路線,顯然情形①中的路線最短,所以小蟲從D′點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的路線是最短路線,它的長度是5個(gè)單位長度.
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