環(huán)球網(wǎng)校2022年國(guó)考行測(cè)數(shù)量關(guān)系解題技巧之不定方程(8月6日)

不定方程(組)是指未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，不能通過(guò)一般的消元法直接得到唯一解，常與差倍比問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題等熱門(mén)考點(diǎn)相結(jié)合，故需要考生們?cè)趥淇嫉倪^(guò)程中加以重視。今天與大家一起探討一下公務(wù)員行測(cè)考試中不定方程(組)的解題思路。

不定方程(組)包含不定方程與不定方程組，而根據(jù)題目條件對(duì)未知數(shù)是否必須為整數(shù)的限制，可以將不定方程組分為限定性不定方程組和非限定性不定方程組。前者指未知數(shù)必須為正整數(shù)，后者則無(wú)此要求。兩種類(lèi)型的不定方程組問(wèn)題都有其固定的解題思路，方法性與技巧性比較強(qiáng)，掌握相應(yīng)的思路去解題便會(huì)事半功倍。

不定方程

題型特征：根據(jù)題干可列出一個(gè)包含兩個(gè)未知數(shù)的方程

解題方法：首先分析奇偶、倍數(shù)、尾數(shù)等數(shù)字特性，然后嘗試代入排除

例1.【2015聯(lián)考】每年三月某單位都要組織員工去A、B兩地參加植樹(shù)活動(dòng)，已知去A地每人往返車(chē)費(fèi)20元，人均植樹(shù)5棵，去B地每人往返車(chē)費(fèi)30元，人均植樹(shù)3棵，設(shè)到A地有員工x人，A、B兩地共植樹(shù)y棵，y與x之間滿(mǎn)足y=8x-15，若往返車(chē)費(fèi)總和不超過(guò)3000元時(shí)，那么，最多可植樹(shù)多少棵?

A.498

B.400

C.489

D.500

【解題思路】已知植樹(shù)棵數(shù) y=8x-15，一個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)為不定方程，8x為偶數(shù)，15為奇數(shù)，偶數(shù)-奇數(shù)=奇數(shù)，則y為奇數(shù)，排除A、B、D項(xiàng)，正確答案為C。

【點(diǎn)評(píng)】本題若采用常規(guī)解方程的方法也可解題，但耗費(fèi)時(shí)間久，不適合考場(chǎng)使用。本題不需要算車(chē)費(fèi)等其他數(shù)值，因此可利用數(shù)字特性直接鎖定答案。

不定方程組

1.限定性不定方程組

題型特征：可根據(jù)題意列出方程組，未知數(shù)多于方程數(shù)，且未知數(shù)必須為正整數(shù)，常用來(lái)表示人數(shù)、盒子或者其他物體的個(gè)數(shù)等

解題方法：先消元轉(zhuǎn)化為不定方程，再按不定方程求解

例1.【2017江蘇】小王打靶共用了10發(fā)子彈，全部命中，都在10環(huán)、8環(huán)和5環(huán)上，總成績(jī)?yōu)?5環(huán)，則命中10環(huán)的子彈數(shù)是：

A.1 發(fā) B.2 發(fā)

C.3 發(fā) D.4 發(fā)

【解題思路】設(shè)命中10環(huán)、8環(huán)、5環(huán)的子彈數(shù)分別為正整數(shù)x、y、z。由子彈總數(shù)為10發(fā)，總環(huán)數(shù)為75環(huán)，可列不定方程組：

x+y+z=10……①;

10x+8y+5z=75……②;

求命中10環(huán)子彈數(shù)x，由②-①×5可得不定方程5x+3y=25。5x、25均為5倍數(shù)，3y也必然為5倍數(shù)，y只能為5，此時(shí)x=2,正確答案為B。

【點(diǎn)評(píng)】將不定方程組消元變?yōu)椴欢ǚ匠虝r(shí)，求誰(shuí)保留誰(shuí)，消掉另外兩個(gè)未知數(shù)中較好計(jì)算的一個(gè)。本題也可直接分析方程②，10x+8y+5z=75中，10x、5z、75均為5的倍數(shù)，則8y一定也是5的倍數(shù)，y=5、10、15…，加和不能超過(guò) 75，則 y=5，代入求解同樣可以鎖定B項(xiàng)。但該方法有局限性，如當(dāng)z的系數(shù)為6時(shí)無(wú)法使用，需要根據(jù)具體題目具體分析。

例2.【2018四川下】某企業(yè)采購(gòu)A類(lèi)、B類(lèi)和C類(lèi)設(shè)備各若干臺(tái)，21臺(tái)設(shè)備共用48萬(wàn)元。已知A、B、C類(lèi)設(shè)備的單價(jià)分別為1.2萬(wàn)元、2萬(wàn)元和2.4萬(wàn)元。問(wèn)該企業(yè)最多可能采購(gòu)了多少臺(tái)C類(lèi)設(shè)備?

A. 16

B. 17

C. 18

D. 19

【解題思路】設(shè)該企業(yè)采購(gòu)A類(lèi)、B類(lèi)和C類(lèi)設(shè)備數(shù)量分別為A、B、C。已知“21臺(tái)設(shè)備共用48萬(wàn)元”，則A+B+C=21……①，1.2A+2B+2.4C=48……②。聯(lián)立兩式，②×5-①×6可得：4B+6C=114，化簡(jiǎn)得：2B+3C=57。由于設(shè)備購(gòu)買(mǎi)數(shù)量一定是不為零的整數(shù)，根據(jù)倍數(shù)特性，57和3C均可以被3整除，則2B一定可以被3整除。若要C類(lèi)設(shè)備最多即B最小，B最小為3，代入原式可得：C=17，A=1，符合題意。因此該企業(yè)最多可能采購(gòu)了17臺(tái)C類(lèi)設(shè)備，正確答案為B。

【點(diǎn)評(píng)】消元時(shí)也可消掉B，②-①×2可得：-0.8A+0.4C=6，約分得：-2A+C=15，即C-2A=15。2A為偶數(shù)，15為奇數(shù)，奇數(shù)-偶數(shù)=奇數(shù)，則C必須是奇數(shù)，排除A、C項(xiàng)。剩二代一，題干要求“最多”，因此從最大的選項(xiàng)開(kāi)始代入，代入D項(xiàng)：19-2A=15，解得 A=2，B=0，由于設(shè)備購(gòu)買(mǎi)數(shù)量一定是不為零的整數(shù)，故B≠0，排除D項(xiàng)。提示大家，正確答案有且僅有一個(gè)，排除掉三個(gè)錯(cuò)誤答案后，剩下的一定為正確答案，無(wú)需再次驗(yàn)證。

2.非限定性不定方程組

題型特征：可根據(jù)題意列出方程組，未知數(shù)多于方程數(shù)，且未知數(shù)不一定為正整數(shù)，常指物品的價(jià)格、工作的時(shí)間等，需要求解的是一組未知數(shù)的和。

解題方法：特值法(賦零)或配系數(shù)法

當(dāng)未知數(shù)表示時(shí)間和錢(qián)，可以為小數(shù)，這樣的方程組有無(wú)數(shù)組解，有好多解都滿(mǎn)足方程，隨便找一組即可，而0最簡(jiǎn)單，因此可以用賦零法。建議使用時(shí)讓最復(fù)雜的未知數(shù)為0，代入進(jìn)行計(jì)算。而配系數(shù)法中系數(shù)是湊出來(lái)的，若考場(chǎng)上無(wú)法湊出來(lái)，則無(wú)法求解，因此建議用賦零法解題。

例1.【2016春季聯(lián)考】木匠加工2張桌子和4張凳子共需要10個(gè)小時(shí)，加工4張桌子和8張椅子需要22個(gè)小時(shí)。問(wèn)如果他加工桌子、凳子和椅子各10張，共需要多少小時(shí)?

A. 47.5

B. 50

C. 52.5

D. 55

【解題思路】假設(shè)每張桌子、凳子、椅子的所需時(shí)間分別為a小時(shí)、b小時(shí)、c小時(shí)，則2a+4b=10、4a+8c=22，化簡(jiǎn)得到a+2b=5①，a+2c=5.5②，①+②=2a+2b+2c=10.5，則10(a+b+c)=52.5，所需時(shí)間52.5小時(shí)，正確答案為C。

【點(diǎn)評(píng)】本題中未知數(shù)為時(shí)間，時(shí)間不一定是整數(shù)，且要求的量為一組數(shù)的和，若考生數(shù)字敏感性較差，無(wú)法通過(guò)配系數(shù)求解，也可用賦零法解題。賦值a=0，原方程組可轉(zhuǎn)化為4b=10，8c=22，4(b+c)=21,10(a+b+c)=52.5。

【例2】【2018上?！楷F(xiàn)有甲、乙、丙三種貨物，若購(gòu)買(mǎi)甲1件、乙3件、 丙7件共需200元;若購(gòu)買(mǎi)甲2件、乙5件、丙11件共需350元。則購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙各1件共需多少元?

A. 50

B. 100

C. 150

D. 200

【解題思路】根據(jù)題干條件，假設(shè)甲、乙、丙的價(jià)格依次是x、y、z元，則根據(jù)題意可列方程組：x+3y+7z=200①，2x+5y+11z=350②。賦丙的價(jià)格為0，即z=0。原方程組轉(zhuǎn)化為x+3y=200;2x+5y=350，解得：x=50，y=50。可得：x+y+z=50+50+0=100元,正確答案為B。

【點(diǎn)評(píng)】若采用配系數(shù)法，可將原方程組：x+3y+7z=200①，2x+5y+11z=350②，①×3得：3x+9y+21z=600③，②×2：4x+10y+22z=700④，④-③解得 x+y+z=100。配系數(shù)法不是每道題都適用，需要較強(qiáng)的數(shù)字敏感度，建議優(yōu)先掌握賦零法。

掌握不定方程(組)的解法可有效提高和差倍比、經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)、年齡問(wèn)題等常考題型的解題速度與正確率，建議各位考生加強(qiáng)練習(xí)，熟練運(yùn)用。