2016年國(guó)考答題技巧之分類分步解排列組合題

更新時(shí)間：2015-11-05 13:52:23 來源：環(huán)球網(wǎng)校

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　　一、分類分步的解題原理

　　何為分類分步，簡(jiǎn)單來說，我要從長(zhǎng)沙去北京，完成這樣一件事情三類方法：一是坐火車過去，有3趟不同的火車;二是坐汽車過去，有2趟不同的汽車;三是坐飛機(jī)過去，有4趟不同的航班，那么我從長(zhǎng)沙到北京就一共有3+2+4=9種不同的方法。三類方法每一類都能單獨(dú)完成從長(zhǎng)沙到北京這件事情，所以把每一類的方法數(shù)相加，這是分類相加的原理。如果我需要從長(zhǎng)沙先到武漢，然后到北京，假設(shè)從長(zhǎng)沙到武漢有4種方法，從武漢到北京有3種方法，那么總方法數(shù)就有4×3=12種。這是分步相乘的原理。其特點(diǎn)是每一步都不能缺少。

　　二、真題演練

　　分類分步是相輔相成的，做題的時(shí)候一般是先考慮分類再考慮分步。比如說這樣一道題：

　　【例1】由1-9組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有多少個(gè)?

　　A.432 B.504 C.639 D. 720

　　解析：三維數(shù)可以分成個(gè)、十、百三步去完成，首先完成個(gè)位，可以放任意的數(shù)字，一共有9種方法;然后完成十位，因?yàn)椴荒芎蛡€(gè)位一樣，所以去掉個(gè)位之后還剩下8個(gè)數(shù)字，共有8種方法;最后填百位，不能和十位以及個(gè)位相同，一共有7種方法。根據(jù)分步相乘的原理，總方法數(shù)為9×8×7=504種。選擇B。

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　　這道題相對(duì)來說比較簡(jiǎn)單，但是再加工一下就變得比較復(fù)雜了，如下題：

　　【例2】由0-9十個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)共有多少個(gè)?

　　A. 392 B.432 C.450 D.630

　　解析：分析一下這道題，題目要求是三位數(shù)，那么0這個(gè)數(shù)字就不能放在百位上了，也就是說百位共有9種方法，而十位可以任意的放置，共有10種方法，個(gè)位必須是偶數(shù)，只有0、2、4、6、8這5種方法。但我們不能說有9×10×5=450種方法。因?yàn)闂l件要求沒有重復(fù)數(shù)字。按照分類分步的想法，可以分成這兩類：

　　①個(gè)位為0，那么此時(shí)十位有9中方法，百位有8種方法，分步相乘，共有9×8=72種。

　?、趥€(gè)位不為0，那么此時(shí)個(gè)位有4種方法，百位也不能為0，且不能和個(gè)位重復(fù)，共有8種方法，十位只要不和百位以及個(gè)位重復(fù)就可以，共有8種方法。分步相乘共有4×8×8=320種方法。

　　按照分類相加，總方法數(shù)為72+320=392種。選A

　　在條件很復(fù)雜的排列組合題中我們依然可以分類分步解題。

　　【例3】現(xiàn)在要從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選出三個(gè)人來分別操作A、B、C三臺(tái)機(jī)器，已知甲不能操作A機(jī)器，乙只能操作C機(jī)器。丙和丁倆人都能熟練操作這3臺(tái)機(jī)器。問一共有多少種安排方法。

　　A.5 B.6 C.7 D.8

　　解析：根據(jù)例題2的分類思路，這道題我們可以這樣去思考：C機(jī)器是一定要有人來操作的，如果我選了乙，他就只能去操作C機(jī)器，如果我沒選乙，C機(jī)器就安排別人來操作。所以可以分為一下兩類：

　?、偃酥杏幸遥藭r(shí)剩余兩人不確定，但是因?yàn)闄C(jī)器是一定要有人來操作的，從機(jī)器的角度去思考，首先乙機(jī)器由乙來操作，只有1種方法;然后A機(jī)器不能由甲來操作，所以從丙和丁中選1人來操作A機(jī)器，有兩種方法，剩余的B機(jī)器從剩余的兩人中任意選一個(gè)就可以了，也有兩種方法。按照分步相乘，方法數(shù)為2×2=4種。

　?、谌酥袥]有乙，那就是選了甲丙丁三個(gè)人，此時(shí)A不能由甲操作，只能從丙丁中選一個(gè)人，有2種方法，B機(jī)器隨意，從剩下兩人中選一人，有2種方法，最后的一人去操作C機(jī)器。分步相乘共有2×2=4種方法。

　　再根據(jù)分類相加，總方法數(shù)為4+4=8種。選D。

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